「게임이론: 전략과 정보의 경제학」 5장 - 전개형게임

1. 전개형게임

전개형게임에서 방향그래프란 마디와 가지로 이루어진 그래프로 엄밀하게 정의된다. 마디들의 집합을 V라 할 때, 두 마디를 잇는 선은 가지이며, 가지들의 집합 E는 당연히 V × V의 부분집합이다. 게임나무는 방향그래프 (V, E)와 뿌리 x^0 ∈ V로 구성된다. 전개형게임은 경기자들의 집합, 게임나무, 각 경기자가 행동을 선택할 의사결정마디들의 집합, 최종마디의 집합, 그리고 최종결과에 따른 경기자들의 보수벡터로 구성된다. 이때, 경기자는 완전한 정보가 아닌 불완전정보를 갖고 의사결정을 진행할 수도 있다.

 

전개형게임에서는 게임나무의 각 의사결정마디에서 해당 경기자가 선택가능한 행동을 마음대로 취할 수 있다고 가정하지만, 전략형게임은 개별 경기자가 게임 시작전에 계획한 것을 그대로 시행한다는 가정하에 도출된다. 즉, 주어진 게임나무에서 각 경기자가 사전에 구속력 있는 행동계획을 정할 수 없다면, 그 형태가 바로 전개형게임인 것이다. 만약 전개형게임으로부터 각 경기자가 선택가능한 순수전략을 열거한 뒤 그 집합을 만들고, 각 전략조합이 실현될 경우 도달할 종결마디를 찾아내 그 종결마디에서 각 경기자가 얻는 보수를 보수벡터로 나타낼 수 있다면, 이렇게 도출된 전략형 게임을 동등전략형게임으로 부른다. 이때, 완전정보하의 순수공조게임과 불완전정보하의 순수공조게임을 각각 동등전략형게임으로 만든다고 생각해보자. 후자에서 각 경기자가 선택할 수 있는 전략은 두 개뿐이지만, 완전정보하에서는 상대의 전략에 따라 다른 행동을 취할 수 있으므로, 더 늦게 행동하는 경기자의 전략은 네 개가 될 것이다.

 

2. 위협과 약속의 신빙성

상대의 위협이나 약속이 믿을 만한가하는 것은 나의 전략적 의사결정에 있어 반드시 생각해야 할 요소이다. 특히 사전의 계획이 미래의 행동을 구속하지 못하는 전개형게임에서는 핵심적인 분석요소이다. 독점 기업(기업2)이 지배하고 있는 시장에 잠재적 진입 기업(기업1)이 진입을 고려하는 진입저지게임의 경우를 생각해보자. 기업1이 진입을 포기하고 대안 투자를 실시하면 기업1은 3의 보수를 얻고 기업2는 9의 독점이윤을 얻는다. 기업1이 시장에 진입할 경우, 기업2는 출혈경쟁과 진입수용 중 하나의 전략을 택해야 하는데, 첫 번째 전략은 기업1과 기업2에 각각 0과 2의 보수를, 두 번째 전략은 각각 4와 5의 보수를 제공한다. 이 경우 두 개의 내쉬 균형이 있다. 첫번째 균형은 기업1이 진입하고 기업2가 수용하는 전략이다. 이는 기업1이 진입할 경우 기업2가 합리적이라면 이윤을 지키기 위해 진입을 수용할 것이라는 신념에 비롯한다. 두 번째 균형은 기업1이 진입을 포기하는 것으로, 이는 기업2로부터의 신빙성 없는 위협에 근거한다.

 

3. 부분게임완전균형과 역진귀납법

부분게임은전체 게임의 일부이면서도 그 자체로 하나의 독립적 게임을 형성할 수 있는 부분을 말한다. 부분게임은 그 자체의 뿌리 및 그 부분게임 내에서 경기하는 모든 경기자들의 모든 정보집합을 전부 포함해야 한다. 위의 진입저지게임에서 부분게임은 두 개이다. 전체 게임 역시 하나의 부분게임이며, 기업1이 시장에 진입했다는 가정하에 기업2가 자신의 전략을 택하는 부분 또한 그자체로 독립적인 부분게임으로 기능할 수 있다. 후자에서의 내쉬균형은 기업2가 진입수용을 택하는 전략이다. 이때, 모든 부분게임에서 내쉬균형 요건을 충족하는 행태전략조합을 부분게임완전균형 혹은 완전균형이라고 부른다. 따라서, 진입저지게임에서는 (진입, 진입수용)이 부분게임완전균형이다. 또한, 이런 식으로 가장 말단에 위치한 부분게임으로부터 시작해 거슬러 올라가 내쉬균형을 구하는 방법을 역진귀납법이라고 부른다. 

 

4. 역진귀납법과 완전균형의 현실성

역진귀납법과 완전균형은 이론적으로는 정치하지만, 현실과의 괴리가 크다는 이유로 종종 비판받는다. 역진귀납법의 적용을 위해서는 경기자들의 완전합리성이 주지사실일 뿐만 아니라 모든 경기자가 보수구조에 대해서도 완비된 정보를 갖고 있어야 한다는 가정이 필요하다. 그러나 이는 지나치게 강한 전제이고, 현실에서의 경제행태는 이와 크게 다르다. 먼저 행동하지 않으면 상대보다 낮은 보수를 가져가게 되지만, 기다릴 경우 자신의 보수가 더 커질 수도 있는 지네게임이 바로 그 예시다.

 

5. 전략적 공약

(1) 내구재 독점판매

여러 기간에 걸쳐 특정 제품을 많은 소비자에게 공급하는 독점판매자가 있고, 그는 각 시점에서 부과하는 가격을 적절히 조정하여 동태적 이윤을 극대화하려고 할 것이다. 이때 독점기업은 합리적 소비자들의 반응을 고려해 신빙성 있는 약속 혹은 위협에 근거한 전략을 구성해야 한다. 우표판매상이 동일한 우표 10장을 독점하고 있고, 양일에 걸쳐 이를 전부 팔아야 하는 상황이다. 우표상은 총수입을 극대화하길 원하며, 총수입이 같다면 가능한 한 일찍 매각하는것을 선호한다. 우표시장에는 10명의 수집가가 있고, 5명은 100만원의 지불용의가 있으며, 나머지는 20만원까지만 지불 용의가 있다. 이상은 모든 참가자들간의 주지사실이다.이때 우표판매상의 총수입 극대화 전략은 무엇일까? 1일차에 100만원으로 5장을 팔고, 2일차에 5장을 20만원으로 파는 것은 정답이 아니다. 수집가들은 기다리면 가격이 내린다는 것을 알고 있기 때문이다. 양일에 똑같이 100만월을 책정하는 것 또한 답이 아니다. 이 같은 정책은 전혀 신빙성이 없기 때문이다. 1일차에 100만원으로 5장을 팔면 남는 것은 저평가수요자들뿐이므로 우표판매상은 10장을 다 팔기 위해서는 값을 내려야 하기 때문이다. 결국 우표판매상은 10장의 우표를 모두 20만원에 팔 수밖에 없다는 것이 코우즈의 분석이다. 코우즈는 이를 통해 내구재시장에서 공급이 독점되어 있다는 사실만으로 독점의 경제적 폐해 및 사회적 비효율이 발생한다고 볼 수는 없다고 주장했다. 그러나 현실은 이와 다를 수 있다. 우표판매상은 5장을 모든 사람 앞에서 태워 없앨 수 있다. 이제 수요자들은 우표가 5장 밖에 없다는 것을 알 것이기에, 고평가수요자 5명은 100만원을 주고 남은 우표를 구매할 것이다.

 

6. 공약의 신빙성을 높이는 방안

전략적 상호작용의 상황에서는 위와 같이 자신의 전략 중 일부를 사전에 제거함으로써 자신의 위협이나 약속을 상대가 믿을 수밖에 없도록 만들기도 한다. 그렇게 함으로써 선택대안을 계속 열어 두는 경우보다 더 높은 보수를 얻을 수 있기 때문이다. 이를 두고 자신의 손을 묶음으로써 신빙성을 높인다고 말하는데, 이에 대한 네 가지 세부 방안이 존재한다. 먼저, 위 사례처럼 우표를 공개적으로 불태워 버리는 것은 이른바 배수진을 치는 방법에 해당한다. 일단 약속을 한 후, 어느 누구와도 다시 상의하지 않겠다 선언하고 외부와의 접촉을 끊어버리는 식으로 의사소통의 길을 단절하는 방법도 있을 수 있다. 남북 갈등의 상황에서 북측이 일방적으로 핫라인을 끊어 버리는 조치가 그 예시이다. 혹은, 자신도 통제할 수 없는 상황을 만들어 공약의 신빙성을 높이는 방법이 있을 수 있다. 상호확증파괴에 기반한 핵 자동공격시스템이 그 예시이다. 독립적인 사람이나 기관에 나름의 목표 및 규정을 설정해주고, 자신의 권한을 위임하는 방법이 있을 수 있다. 상기한 네 방안에는 공통점이 있는데, 공약은 모든 당사자들이 알 수 있도록 공개성을 가져야 한다는 것이 첫 번째이고, 한번 공약한 사항은 그 자신도 통제할 수 없어야한다는 불가역성이 두 번째이다.

 

자신의 손을 묶는 것 말고도, 보수의 구조를 바꿈으로써 공약의 신빙성을 높이는 방안이 있을 수 있다. 스스로 약정한 전략을 실제로 준수하는 것이 자신에게도 가장 이익이 되도록 보수 구조 자체를 변경하는 것을 의미하며, 여기에는 다섯 개의 세부 방안이 존재한다. 첫 번째는 평판을 쌓고 유지하는 방법이다. 반복되는 게임에서 매번 똑같은 전략을 지속적으로 선택한다면 상대가 이를 주어진 것으로 받아들이고 맞춰갈 수밖에 없을 것이기에, 이 패턴을 미리 예측하고 장기적으로 자신에게 가장 유리한 전략(스타켈버그 전략)을 반복적으로 선택하여 평판을 쌓는 것이다. 여러 경기자들이 한 팀을 형성하고 서로를 감시하며 처벌하는 등 팀워크를 통해 외부에 대한 신뢰성을 높이는 것이 두 번째 방안이다. 정식으로 계약을 체결하는 세 번째 방안도 있고, 실행가능성이 있는 약속을 공언하는 살라미 전술이 네 번째 방안이다. 마지막으로, 적당한 위험을 고의로 만드는 벼랑끝 전술이 있다. 상대를 벼랑 끝에 세우고 자신의 요구를 들어주지 않으면 밀겠다고 공언하는 것인데, 이때 그는 상대방이 물귀신 작전을 실시할 것이라는 것을 알고도 위협하는 것이다. 쿠바 미사일 사태에서 케네디가 구사한 전략이 이에 해당된다.