「게임이론: 전략과 정보의 경제학」 2장 - 전략형게임의 응용

과점은 소수의 기업들이 서로 대체성이 매우 큰 제품들을 공급하는 시장구조를 의미하며, 모든 기업들이 같은 제품을 생산하는 순수과점과 기업들이 서로 차별화된 제품을 공급하는 차별화된 과점으로 구분된다. 과점은 소수 기업들간의 게임이며, 따라서 전략형게임과 내쉬균형의 개념이 유용한 분석도구로 쓰인다.

 

1. 생산량경쟁 과점시장

(2) 쿠르노의 복점모형

복점시장에서 개별기업은 상대의 생산량이 고정된 것으로 가정하여 이윤 극대화 생산량을 정하고, 가격은 그렇게 결정된 생산량의 합계와 시장수요함수에 의해 결정된다. 시장수요함수를 식 2.1과 같이 가정했을 때, 기업1의 생산량이 q1일 경우 기업2의 이윤은 식 2.2와 같다.

(2.1) 시장수요함수: P = a - Q, Q = q₁ + q₂

(2.2) 이윤함수: u₂ = Pq₂ - cq₂ = (a - c - q₁ - q₂ ) q₂

 

이때 기업2의 이윤을 극대화하는 생산수준은 아래에 나타난 일계조건을 만족해야 하며, 그 식을 정리하면 기업1의 q1에 대한 기업2의 최선응수 q2가 식 2.4와 같이 도출되고, 마찬가지로 기업1의 이윤극대화 생산량은 식 2.5와 같이 도출된다. 이때 두 식을 상대에 대한 반응곡선이라 부를 수 있다.

(2.3) du₂ / dq₂ = a - c - q₁ - 2q₂ = 0

(2.4) q₂ = 1/2 (a - c - q₁)

(2.5) q₁ = 1/2 (a - c - q2)

 

식 2.4와 식 2.5를 연립하여 풀면 균형생산량은 두 기업 모두 1/3 (a - c)이고, 이 점이 내쉬균형이다. 그리고 이때의 극대화된 이윤은 1/9 (a - c)²이다. 만약 두 기업이 담합을 통해 집단적 독점자로 행동한다면 생산량은 어떻게 될까? 상대 기업이 존재하지 않을 때의 이윤극대화 생산량은 1/2 (a - c)이고, 이를 둘로 나누면 각 기업은 1/4 (a - c)만큼 생산할 것이다. 이 상태에서 기업이윤은 각각 1/8 (a - c)²이므로, 내쉬균형 상태에서의 이윤보다 크다. 그러나, 이 경우에는 각 기업이 카르텔을 벗어나 생산량 증가를 통해 자신의 이윤을 높일 수 있기 때문에 내쉬균형일 수 없다. 

 

(3) 과점시장으로의 일반화

쿠르노 복점모형을 과점모형으로 일반화하면, 시장수요함수 및 이윤함수는 다음과 같다.

(2.6) 시장수요함수: P = a - Q, Q = q₁ + q₂ + … + qn

(2.7) 이윤함수: ui ≡ (P - c) qi = [a - c - (q₁ + q₂ + … + qn)] qi

 

이때 기업 i의 이윤 극대화 조건은 식 2.8과 같고, 이를 풀어서 정리하면 반응곡선 식 2.9가 도출된다. 식 2.9와 같은 반응곡선 상의 균형상태에서 개별기업의 생산량은 (a - c) / (n + 1)  이고, 이때 개별기업의 이윤은 (a - c)² / (n + 1)² 이 된다.

(2.8) dui / dqi = a - c - … - qi-₁ - 2qi - qi+₁ - … - qn = 0

(2.9) qi = 1/2 [a - c - ∑qj]

 

2. 가격경쟁 과점시장

(1) 동질적 재화

베르트랑은 복점시장에서 생산량이 아닌 가격을 전략변수라고 보았는데, 이때의 시장수요함수는 P = a - Q, Q = a - P로 정의할 수 있다. 이때 복점시장에서 두 기업의 제품은 동질적이고, 기업1의 가격 P₁이 기업2의 가격 P₂보다 낮을 경우, 기업1은 (a - P₁)만큼을 판매하고 기업2는 하나도 판매하지 못한다. 두 기업의 판매가격이 동일할 경우 두 기업은 시장을 절반씩 점유한다. 이를 식으로 나타내면 아래와 같다.

(2.11) 만일 Pi ＜ Pj 이면 Qi = a - Pi
          만일 Pi - Pj 이면 Qi = 1/2 (a - Pi)
          만일 Pi ＞ Pj 이면 Qi = 0

 

이 상황에서의 유일한 내쉬균형은 두 기업이 완전경쟁가격 c를 부과하는 것이다. 그렇다면 이때 각 기업의 보수는 (c - c) × 1/2 (a - c)로, 결국 0이 된다. 두 기업 모두 c의 가격을 부과하고 있을 때, 한 기업이 가격을 올린다면 그 기업의 판매량은 0이 된다. 또한, 가격을 낮춘다면 판매하는 만큼 손해를 보게된다. 또한, 두 기업 모두 균형상태 위의 가격을 추구할 때, 결국 단가를 낮출 때마다 이익이 대폭 증가하기 때문에 출혈 경쟁이 촉발되고, 종국에는 완전경쟁가격으로 판매가격이 수렴하게 된다.

(2) 차별화된 재화

제품 간의 차이가 존재하는 복점시장에서, 기업1의 수요함수는 Q₁ = a - P₁ + βP₂이다. 이때 매개변수 β가 양수이면 두 기업은 대체관계, 음수이면 보완관계가 성립한다. 이 경우 기업1의 이윤은 식 2.12와 같고, 이를 미분하여 식 2.13과 같이 이윤극대화를 위한 일계조건을 구할 수 있다. 이를 다시 정리한 기업1의 최선응수 P₁은 식 2.14와 같다. 이와 같은 방식으로 구한 기업2의 최선응수 P₂는 식 2.15와 같다.

(2.12) u₁ = (P₁ - c) Q₁

(2.13) du₁/dP₁ = a + c - 2P₁ + βP₂ = 0

(2.14) P₁ = (a + c + βP₂) / 2

(2.15) P₂ = (a + c + βP₁) / 2

 

3. 제품 차별화

(1) 호텔링 모형

호텔링이 개발한 상점 위치선정게임에서는 총길이가 1km인 선형도시에 균등하게 분포되어 거주하는 소비자들을 가정한다. 이때 도시에는 두 개의 상점이 있고, 소비자들은 조금이라도 가까운 상점에 가서 재화를 구입한다. 이 상황에서 유일한 내쉬균형은 두 상점 모두 0.5 지점에 위치해있는 경우다.

 

(2) 민주 선거 및 중위투표자정리

호텔링  모형을 민주주의 선거제도에 적용한 다운즈의 중위투표자정리는 양당제도에서 단일 사안에 대한 투표가 이뤄지는 경우 유일한 내쉬균형이 중위투표자가 가장 선호하는 정책을 공약으로 제시하는 것이라 설명한다. 이때 모든 투표자의 선호체계는 단봉조건을 충족한다고 가정하는데, 어느 투표자의 선호체계가 단봉조건을 갖는다는 것은 그 투표자가 가장 선호하는 정책으로부터 어느 방향으로 멀어지든 그의 선호도가 낮아짐을 의미한다는 것이다.

 

7. 손해배상법

손해배상책임법에 내쉬균형을 적용할 수 있다. 가해자가 사고를 방지하기 위해 기울인 노력을 a₁, 피해자가 기울인 노력을 a₂라고 할 때, 피해자가 입는 기대손해액 L(a₁, a₂)은 양자가 기울인 노력수준에 의해 결정된다. 이때 손해배상책임을 누구에게 얼마만큼 부담하도록 하느냐에 따라 내쉬균형 노력투입량은 달라진다. 손해배상책임을 가해자에게만 부담시키는 엄격책임, 가해자가 법정 최소 노력수준을 투입하지 않는 경우에만 가해자에게 모든 손해배상을 부담하고 가해자가 최소 노력수준 이상을 투입한 경우 모든 손해배상이 피해자에게 부담되는 과실책임, 가해자가 법정 최소 노력수준 미만을 투입하고 피해자가 그 이상을 투입한 경우에만 가해자가 모든 책임을 지고 그 외에는 피해자가 모든 책임을 지는 기여과실책임으로 손해배상법이 구분될 수 있다. 각각의 경우에서 내쉬균형과 사회최적량은 각각 달라진다.